Jean Cavaillès Método axiomático y formalismo (fragmento) "Hilbert se conforma con una delimitación extrínseca de la zona intuitiva: los razonamientos aritméticos que ahí autorizaba eran simplemente señalados de paso en el movimiento indivisible del pensamiento concreto, sin que se haya previsto para éste un intento de codificación de procedimientos por esencia imprevisibles. Pero los ejemplos precedentes muestran que su utilización está determinada por la materia a la que se aplican. De ahí el intento simultáneo por precisar esta relación y, para alcanzar un formalismo completo por lo menos para la teoría de los números, por enriquecer la noción de razonamiento en términos finitos, limitado hasta entonces a consideraciones combinatorias. A la primera cuestión responde el teorema de Gödel -con el criterio negativo que proporciona-, a la segunda la última demostración de no contradicción intentada por Gentzen. La idea de una sistematización -de acuerdo a las necesidades de una formalización- de los desarrollos de la metaciencia ya se encuentra, por ejemplo, en los trabajos de la escuela polaca que superpone lengua y metalenguas- en escala indefinida- cada grado conteniendo la sintaxis (es decir axiomas y reglas de encadenamiento) del grado inmediatamente inferior. Pero se va de sistemas menos ricos a sistemas más ricos subsumiéndolos: de su consideración no puede surgir ninguna solución al problema de los fundamentos como lo planteó Hilbert. La originalidad de Gödel es la de haber efectuado la operación inversa al intentar determinar cuáles de los procedimientos del metalenguaje pueden formalizarse en el lenguaje. " El Poder de la Palabra epdlp.com